数值方法Runge-Kutta法,  针对本文建立的双离合变速器一档斜齿轮非线性微分方程组中具有强非线性项。综合分析图解法、解析法和数值法，本文采取四阶自适应变步长龙格-库塔算法，简称RK算法。由于Runge-Kutta算法是一种自开始的推算公式，比较适用于强非线性模型，求解方法简单，只要步长取的较小，就能收敛较快，获取较高精度，计算效率高，可很好的进行数值分析。四阶Runge-Kutta法是一种有效的求解微分方程的方法，下面将详细介绍该算法结构，并结合数学分析工具MATLAB说明算法。通常，高阶微分方程可以通过变量状态方程转换为一阶微分方程组。n阶微分方程初值问题如下：令y1=y，y2=y’,，yn=y(n-1)，并将其引入无量纲方程组，可将无量纲方程组中高阶微分方程组转换为一阶微分方程组：一阶方程组的初始值。一阶微分方程的数值解法大多数情况下是为了解决微分方程初值问题，通常使用微分方程组的一阶显式形式来描述这类初值问题，描述如下：如果每步计算4次函数f(t,y)的值，可推导出局部截断误差为5o(h)的四阶Runge-Kutta公式，最常用的四阶定步长R-K公式如下：h为R-K算法计算步长，对于定步长算法而言，该步长是一个常数，当计算步长h取值比较小时，计算收敛时间比较短，能够实现很高的计算精度。四阶Runge-Kutta算法下一个步长变量值为：按照上述（5-4）、（5-5）的递推格式，使用迭代方法，就能由已知的初值问题逐步求解，得出所需时间段内原问题的数值解。对第三章建立的多自由度斜齿轮拍击动力学模型，使用自适应变步长的四阶Runge-Kutta算法，数值求解非线性动力学微分方程，首先将高阶微分方程组通过定义新变量，转换为一阶微分方程组，并使用数值求解方法Runge-Kutta法直接求解。齿轮系统动力学模型是由多个高阶微分方程组组成，使用Runge-Kutta数值48法求解时，在进行降阶处理时，需引入一组变量：对第三章中非线性方程组进行降阶处理之后，得到一阶微分方程，组成16个微分方程组。方程组如下：其中，11p、12p、13p、11p、12p、13p是关于u的函数。在上述算法的基础上，利用数值计算工具MATLAB/Simulink搭建模型，对常微分动力学方程组进行数值计算。Simulink具有强大的功能，并且使用简单方便，已经广泛的应用在动态系统仿真软件中。利用Simulink的模块化功能，在屏幕上调用现有的模块，可使得数值求解程序得以简化，并使编程复杂程度降低。运行Simulink仿真程序时，除了可以进行模型的仿真，同时还可以干预仿真过程并对仿真结果进行实时观察。模型求解时，设置仿真步长为变步长，求解器选择为ode45。即采用Runge-Kutta求解。选取合理的初值，直接影响到数值积分计算的成功，在齿轮系统动力学方程的数值积分求解中，通常有以下三种初值选择方法：（1）初始位移和初始速度均取“0”，这种选择方案可以分析系统的瞬态响应，不能得到系统的稳态响应。通常在研究齿轮系统从静止状态工作的瞬间情况时，选择该方案。（2）初始速度取“0”，齿轮系统在负载的平均值下产生的静态变形决定了初始位移。这种静态变形与稳态情况下的振动弹性变形比较类似，并且只考虑了振动分量，初始速度取“0”，忽略了系统中的刚体转动成分，比较适合求解齿轮系统的稳态响应。（3）分别由系统的平均负载和理论转速确定初始位移和初始速度。这种初值选取和齿轮稳定运转时的状态比较吻合，便于求解稳态响应。然而，由理论转速确定的初始速度比较大，数值积分过程可能会失败。

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       齿轮动力学系统响应结果分析,  建立了一档斜齿轮非线性拍击动力学模型微分方程，在非线性振动分析理论的基础上，使用介绍的Runge-Kutta算法，分析求解得出反映系统拍击特性的分析结果。设置主动轮上驱动力矩T1=200Nm，怠速工况转速为1000rpm，由拍击门槛值可知，当斜齿轮副轮齿间相对位移量大于轮齿一侧齿侧间隙，斜齿轮主、从动轮处于相互接触，轮齿不发生拍击。当斜齿轮副轮齿间相对位移量小于轮齿齿侧间隙时，主、从动轮开始脱离啮合，轮齿齿面开始分离。从相互接触到进入脱离啮合的转变时，啮合过程中，主动轮和从动轮之间会出现一定程度的齿轮敲击碰撞，此时会产生齿轮拍击现象。该变速器一档斜齿轮副在x、y和扭转等三个方向都分别出现齿轮敲击碰撞。x方向斜齿轮的正、负齿面都会出现一定程度的齿轮拍击碰撞，且拍击面呈现周期性的变换，出现双面拍击状态。分析图5.2可知，y方向与x方向类似，按照一定的周期，在正、负齿面不停的出现齿轮拍击碰撞。对比分析可知，x方向和y方向的拍击周期基本吻合。，z方向主、从动轮无量纲相对位移值基本为0，由拍击门槛值可判断该方向基本上不发生拍击。扭转方向出现单面拍击。因此后续章节研究中，重点研究扭转方向、x方向和y方向。为了更好地分析拍击特性，进一步计算分析了该一档单对斜齿轮副拍击频率和拍击碰撞强度，分别计算了四个方向的拍击次数和拍击相对速度。一档情况下单对斜齿轮各个方向的拍击次数，为了便于对比研究，表5.1中计算数值为在无量纲仿真时间为单位1的度量标准下各振动方向的拍击次数。该单对斜齿轮各方向的拍击次数值从小到大依次为：z方向、x方向、y方向、扭转方向。因此可以得出，该档位扭转方向和y方向的拍击频率最高，x方向拍击频率适中，z方向拍击次数为0。x、y、z和扭转方向无量纲相对位移的傅里叶变换FFT图如下：z方向拍击力远远小于x方向、y方向和扭转方向拍击力，z方向拍击影响可以忽略。为了更好地描述拍击强度，本章使用斜齿轮副拍击时平均相对速度和相对速度的均方差来定量分析。平均相对速度可以反映轮齿啮合拍击强度的平均水平，相对速度的均方差可计算数据离散程度，则用来反映拍击碰撞强度的波动情况。相比于x方向和z方向，该斜齿轮系统的扭转方向和y方向的平均相对速度比较大，并且扭转方向和y方向的相对速度的均方差同样大于x方向和z方向。变速器该档位斜齿轮拍击频率可以分析判断得出，该斜齿轮扭转方向的拍击频率最高，同时拍击强度最大。相比扭转方向和y方向，该斜齿轮系统x方向拍击平均相对速度为10-5数量级，远远小于扭转方向和y方向，基本接近0，且相对速度均方差相比扭转方向和y方向亦较小，拍击强度微弱。z方向两项参数值均为0。因此扭转方向对整车齿轮系统拍击噪声影响最明显。齿轮x方向拍击频率低于y方向、扭转方向，同时拍击强度很小，相比于y方向和扭转方向，其对齿轮敲击噪声性能影响较弱。和扭转方向与x方向比较，该档位斜齿轮系统y方向的拍击次数处于扭转方向和x方向之间的中等水平，且拍击平均相对速度仅小于扭转方向，因此该档位y方向的拍击振动频率适中，拍击强度亦处于中等水平，对拍击噪声性能影响弱于扭转方向，影响适中。

    变速器齿轮系统的拍击动态特性和系统参数二者关系密切，在非线性系统中，系统激励参数的变化对系统的拍击动态响应和拍击强度与拍击频率均有着明显影响，单对斜齿轮系统拍击特性主要受齿轮啮合阻尼、时变啮合刚度、轮齿齿侧间隙、齿轮传递误差和扭矩波动等因素影响，上一节是研究在某一特定间隙、特定阻尼比、特定误差和啮合刚度下的斜齿轮拍击特性现象。为了采取更有效的途径降低啮合齿轮副拍击噪声，本节将研究在不同间隙、不同时变刚度、不同齿轮啮合阻尼系数、齿轮传递误差和扭矩波动情况下，斜齿轮副的拍击特性。

    齿轮齿侧侧隙对拍击特性影响齿轮副在设计时，间隙的存在是必要的，合理的齿轮间隙可以预防啮合过程中齿面摩擦而受热膨胀导致的主、从动齿轮齿面间膨胀而发生的齿面挤压接触。然而间隙又会导致齿轮啮合时，轮齿间的接触、脱齿、再接触的重复冲击。具有很强的非线性。对齿轮系统拍击和振动特性产生重要影响。以拍击现象明显的x方向、y方向和扭转方向为研究对象，改变轮齿齿侧间隙，间隙扩大倍数系数分别为0.6、1.5时，即齿侧间隙变为原来的0.6倍、1.5倍，即bc=60μm、bc=150μm，其他参数不变，进行仿真计算，研究此时拍击动态特性。x方向和y方向拍击程度受齿侧间隙变化不是很明显。然而，对比仿真结果可知，齿侧间隙的变化导致x方向和y方向动态周期发生了变化。当轮齿齿侧间隙调整为原齿轮副间隙值的0.6倍时，扭转方向相对位移结果整体几乎位于间隙值之上，发生微弱拍击行为。当轮齿间隙值调整扩大为原轮齿间隙值的1.5倍时，扭转方向相对位移小于一侧齿侧间隙，会出现比较剧烈的齿轮拍击碰撞行为。即随着轮齿齿侧间隙的增加，扭转方向拍击程度由轻度逐渐变得比较严重。计算了不同间隙值时拍击次数和无量纲拍击相对速度。随着齿侧间隙的变大，扭转方向的拍击次数增加，即拍击频率变大，y方向拍击频率呈现下降趋势，x方向拍击频率也随着齿侧间隙变大而降低，但是斜率较小，降低相对缓慢。在不同齿轮副啮合间隙倍数系数下，齿轮副拍击强度分析。随着齿侧间隙数值变大，扭转方向、x方向和y方向的拍击相对速度均有不同幅度的减小，且扭转方向变化最为明显。因此，总体而言，齿轮各个方向拍击强度随着轮齿齿侧间隙的变大而降低。上述分析可知，齿侧间隙数值较大时，拍击强度下降，但是齿轮在啮合传递动力时，实际啮合位置与理论位置会出现偏差，会产生轮齿的刮擦，且齿轮在啮入、啮出时会发生噪声，称之为啸叫噪声。齿轮副间隙较小时，拍击频率增加。同时当齿轮侧隙比较小时，由于齿轮啮合摩擦发热膨胀后，齿面磨损现象会变得突出。齿侧间隙值的变化只会改变拍击频率和拍击强度，不改变各个方向拍击状态。因此，过大或过小间隙对拍击都有不利影响，在传动系统齿轮副参数设计时，需要全面考虑选取合适的齿轮副间隙。

     齿轮在加工制造和装配时，不可避免的会出现误差，由于误差的出现，从而又会导致间隙的变化，对斜齿轮拍击振动特性造成影响。本小节通过改变误差的数值，其他条件不变，将误差值倍数系数分别设置为0.4和1.6，即分别改变为原有齿轮误差的0.4倍和1.6倍。进行仿真计算，研究该档位齿轮弯-扭-轴模型拍击动态特性。误差倍数系数为1.6时，当误差比例分别为0.4倍和1.6倍时，其拍击动态响应，相比于原传递误差时的动态响应，其x方向，y方向和扭转方向均没有发生明显的太大变化，初步可以得出传递误差的变化对其拍击程度影响比较小。分别计算了不同齿轮啮合误差值时拍击次数和无量纲拍击相对速度。随着齿轮传递误差的变大，该档位斜齿轮副x方向、y方向和扭转方向的拍击次数基本上保持恒定，拍击频率基本保持一致。不同齿轮啮合传递误差倍数系数下，齿轮传动系统拍击强度分析。斜齿轮的x方向、y方向和扭转方向的齿轮拍击无量纲平均相对速度和均方差均只有较小波动，无较大明显变化，即拍击强度变化不大。并且齿轮误差的改变对各个方向拍击状态没有影响。深入分析，齿轮误差对齿轮拍击影响比较小的原因主要是：本文研究的该路灯车变速器斜齿轮副中齿轮均采用七级精度齿轮，七级精度通常齿轮传递误差比较小，一般小于50μm。相比于齿轮副间隙值和齿轮自身其他参数，齿轮副误差值变化影响比较小，因此误差的变化对齿轮副拍击状态程度影响不明显。

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